[index-ja] Algebra::MatrixAlgebra / Algebra::Vector / Algebra::Covector / Algebra::SquareMatrix / Algebra::GaussianElimination

Algebra::MatrixAlgebra

(行列クラス)

行列を表現します。実際のクラスを生成するには基底環とサイズを指定して、 クラスメソッド ::create あるいは関数 Algebra::MatrixAlgebra() を用います。

サブクラスとして Algebra::Vector(縦ベクトル), Algebra::Covector(横ベクトル), Algebra::SquareMatrix(正方行列) を持ちます。

ファイル名:

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連する関数:

Algebra.MatrixAlgebra(ring, m, n)
::create(ring, m, n)と同じです。

クラスメソッド:

::create(ring, m, n)

ring を要素とする, (m, n) 型の行列を 表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::MatrixAlgebra クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして groundrsize, csize, sizes が定義され、それぞれ、 基底となる環 ring、行のサイズ m、列のサイズ n、 それらの配列 [m, n] を返します。

実際に行列を作るには ::new, ::matrix, ::[] を使います。

::new(array)

array を配列の配列とするとき、それを要素とする行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
a.display
  #=> [1, 2, 3]
  #=> [4, 5, 6]
::matrix{|i, j| ... }

ij に行と列のインデックスを与え ... を評価した値を (i, j) 成分にした行列を返します。

例:

M = Alebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.matrix{|i, j| 10*(i + 1) + j + 1}
a.display
  #=> [11, 12, 13]
  #=> [21, 22, 23]
::[array1, array2, ..., arrayr]

配列 array1, array2, ..., arrayr をそれぞれ行とする配列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
a.display
  #=> [1, 2, 3]
  #=> [4, 5, 6]
::collect_ij{|i, j| ... }
::matrix によく似ていますが、 返り値は Algebra::MatrixAlgebra でなく、2重配列(Array の Array)です。
::collect_row{|i| ... }

第 i 行に ... を評価して得た配列を並べた行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
A = M.collect_row{|i| [i*10 + 11, i*10 + 12, i*10 + 13]}
A.display
  #=> [11, 12, 13]
  #=> [21, 22, 23]
::collect_column{|j| ... }

第 j 列に ... を評価して得た配列を並べた行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
A = M.collect_column{|j| [11 + j, 21 + j]}
A.display
  #=> [11, 12, 13]
  #=> [21, 22, 23]
::*(otype)

2つの行列の型を掛けた新しいクラスを返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
N = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 4)
L = M * N
p L.sizes #=> [3, 4]
::vector_type
rsize と同じサイズの縦ベクトル(Vector)クラスを返します。
::covector_type
csize と同じサイズの横ベクトル(CoVector)クラスを返します。
::transpose
転置を行った新しい行列クラスを返します。
::zero
零行列を返します。

メソッド:

[i, j]
(i, j) 成分を返します。
[i, j] = x
(i, j) 成分を x にします。
rsize
行サイズを返します。::rsize と同じです。
csize
列サイズを返します。::csize と同じです。
sizes
[rsize, csize] の配列を返します。 ::sizes と同じです。
rows

各行を要素とする配列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
p a.rows #=> [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
p a.row(1) #=> [4, 5, 6]
a.set_row(1, [40, 50, 60])
a.display #=> [1, 2, 3]
          #=> [40, 50, 60]
row(i)
i 行目を配列として返します。
set_row(i, array)
i 行目を配列 array に入れ換えます。
columns

各列を要素とする配列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
p a.columns #=> [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]
p a.column(1) #=> [2, 5]
a.set_column(1, [20, 50])
a.display #=> [1, 20, 3]
          #=> [4, 50, 6]
column(j)
j 列目を配列として返します。
set_column(j, array)
j 列目を配列 array に入れ換えます。
each{|row| ...}
各行を配列にして row に入れるイテレータです。
each_index{|i, j| ...}
各添え字 (i, j) に関するイテレータです。
each_i{|i| ...}
各行の添え字 i に関するイテレータです。
each_j{|j| ...}
各列の添え字 j に関するイテレータです。
each_row{|r| ... }
各行を配列にして r に入れるイテレータです。 each と同じです。
each_column{|c| ... }
各列を配列にして c に入れるイテレータです。
matrix{|i, j| ... }
::matrix と同じです。
collect_ij{|i, j| ... }
::collect_ij と同じです。
collect_row{|i| ... }
::collect_row と同じです。
collect_column{|j| ... }
::collect_column と同じです。
minor(i, j)
ij 列を除いた小行列を返します。
cofactor(i, j)
ij 列を除いた小行列式に (-1)**(i+j) を掛けたものを 返します。minor(i, j) ** (i + j) と同じです。
cofactor_matrix
余因子行列を返します。self.class.transpose.matrix{|i, j| cofactor(j, i)} と同じです。
adjoint
cofactor_matrix と同じです。
==(other)
等しいとき真を返します。
+(other)
和を計算します。
-(other)
差を計算します。
*(other)

積を計算します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
N = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 4)
L = M * N
a = M[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
b = N[[-3, -2, -1, 0], [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8]]
c = a * b
p c.type  #=> L
c.display #=> [14, 20, 26, 32]
          #=> [23, 38, 53, 68]
**(n)
n 乗を計算します。
/(other)
商を計算します。
rank
階数を返します。
dsum(other)

直和を返します。

例:

a = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)[
      [1, 2, 3],
      [4, 5, 6]
    ]
b = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 2)[
      [-1, -2],
      [-3, -4],
      [-5, -6]
    ]
(a.dsum b).display #=> 1,   2,   3,   0,   0
                   #=> 4,   5,   6,   0,   0
                   #=> 0,   0,   0,  -1,  -2
                   #=> 0,   0,   0,  -3,  -4
                   #=> 0,   0,   0,  -5,  -6
convert_to(ring)

self の各成分を行列環 ring にコンバートします。

Example:

require "matrix-algebra"
require "residue-class-ring"
Z3 = Algebra.ResidueClassRing(Integer, 3)
a = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)[
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6]
]
a.convert_to(Algebra.MatrixAlgebra(Z3, 2, 3)).display
                                    #=>  1,   2,   0
                                    #=>  1,   2,   0
to_ary
to_a を返します。to_aEnumerable で定義されています。
flatten
to_a.flatten を返します。
diag
対角成分を配列で返します。
transpose

転置行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
Mt = M.transpose
b = a.transpose
p b.type  #=> Mt
b.display #=> [1, 4]
          #=> [2, 5]
          #=> [3, 6]
dup

複製します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = a.dup
b[1, 1] = 50
a.display #=> [1, 2, 3]
          #=> [4, 5, 6]
b.display #=> [1, 2, 3]
          #=> [4, 50, 6]
display([out])
行列を out に表示します。out が省略されると $stdout に表示します。

Algebra::Vector

(縦ベクトルクラス)

ベクトルのクラスです。

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

なし

関連する関数:

Algebra.Vector(ring, n)
Algebra::Vector::create(ring, n) と同じです。

クラスメソッド:

Algebra::Vector::create(ring, n)

ring を要素とする, n 次元のベクトル(縦ベクトル) 表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::Vector クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして groundsize が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、 サイズ n を返します。

実際にベクトルを作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。

Algebra::Vectorn 行 1 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。

Algebra::Vector::new(array)

array を配列とするとき、それを要素とす る縦ベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Vector(Integer, 3)
a = V.new([1, 2, 3])
a.display
  #=> [1]
  #=> [2]
  #=> [3]
Algebra::Vector::vector{|i| ... }

i 成分を ... にしたベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Vector(Integer, 3)
a = V.vector{|j| j + 1}
a.display
  #=> [1]
  #=> [2]
  #=> [3]
Algebra::Vector::matrix{|i, j| ... }
i 成分を ... にしたベクトルを返します。 j には常に 0 が代入されます。

メソッド:

size
次元を返します。
to_a
各成分を配列にして返します。
transpose
横ベクトル Algebra::Covector に転置します。
inner_product(other)
other との内積を返します。
inner_product_complex(other)
other との内積を返します。 inner_product(other.conjugate)と同じです。
norm2
ノルムを返します。 inner_product(self)と同じです。
norm2_complex
ノルムを返します。 inner_product(self.conjugate)と同じです。

Algebra::Covector

(横ベクトルクラス)

ベクトルのクラスです。

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

なし

関連する関数:

Algebra.Covector(ring, n)
Algebra::Covector::create (ring n)と同じです。

クラスメソッド:

Algebra::Covector::create(ring, n)

ring を要素とする, n 次元のベクトル(横ベクトル) 表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::Covector クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして groundsize が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、 サイズ n を返します。

実際にベクトルを作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。

Algebra::Covector は 1 行 n 列の Algebra::MatrixAlgebra と 同一視されます。

Algebra::Covector::new(array)

array を配列とするとき、それを要素とす る横ベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Covector(Integer, 3)
a = V.new([1, 2, 3])
a.display
  #=> [1, 2, 3]
Algebra::Covector::covector{|j| ... }

第 j 成分を ... にしたベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Covector(Integer, 3)
a = V.covector{|j| j + 1}
a.display
  #=> [1, 2, 3]
Algebra::Covector::matrix{|i, j| ... }
第 j 成分を ... にしたベクトルを返します。i には常に 0 が代入されます。

メソッド:

size
次元を返します。
to_a
各成分を配列にして返します。
transpose
横ベクトル Algebra::Vector に転置します。
inner_product(other)
other との内積を返します。
inner_product_complex(other)
other との内積を返します。 inner_product(other.conjugate)と同じです。
norm2
ノルムを返します。 inner_product(self)と同じです。
norm2_complex
ノルムを返します。 inner_product(self.conjugate)と同じです。

Algebra::SquareMatrix

(正方行列環クラス)

正方行列の作る環を表現するクラスです。

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

なし

関連する関数:

Algebra.SquareMatrix(ring, size)
Algebra::SquareMatrix::create(ring, n) と同じです。

クラスメソッド:

Algebra::SquareMatrix::create(ring, n)

正方行列表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::SquareMatrix クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして groundsize が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、 サイズ n を返します。

SquareMatrix は nn 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。

実際に行列を作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。

Algebra::SquareMatrix.determinant(aa)
配列の配列 aa の行列式を返します。
Algebra::SquareMatrix.det(aa)
Algebra::SquareMatrix.determinatと同じです。
Algebra::SquareMatrix::unity
単位行列を返します。
Algebra::SquareMatrix::zero
零行列を返します。
Algebra::SquareMatrix.const(x)
成分が x のスカラー行列を返します。

メソッド

size
サイズを返します。
const(x)
成分が x のスカラー行列を返します。
determinant
行列式を返します。
inverse
逆行列を返します。
/(other)
self * other.inverse を返します。other がスカラーなら 各要素を other で割ります。
char_polynomial(ring)
ring に多項式環を与えると、特性多項式を返します。
char_matrix(ring)
ring に多項式環を与えると、特性行列を返します。
_char_matrix(poly_ring_matrix)
poly_ring_matrix に多項式成分の行列環を与えると、特性行列を返します。

Algebra::GaussianElimination

(ガウスの消去法モジュール)

ガウスの掃き出し法を実現するモジュールです。

ファイル名:

gaussian-elimination.rb

インクルードしているモジュール:

なし

クラスメソッド:

なし

メソッド

swap_r!(i, j)
i 行と j 行を入れ換えます。
swap_r(i, j)
i 行と j 行を入れ換えたものを返します。
swap_c!(i, j)
i 列と j 列を入れ換えます。
swap_c(i, j)
i 列と j 列を入れ換えたものを返します。
multiply_r!(i, c)
i 行目を c 倍します。
multiply_r(i, c)
i 行目を c 倍したものを返します。
multiply_c!(j, c)
j 列目を c 倍します。
multiply_c(j, c)
j 列目を c 倍したものを返します。
divide_r!(i, c)
i 行目を c で割ります。
divide_r(i, c)
i 行目を c 割ったものを返します。
divide_c!(j, c)
j 列目を c で割ります。
divide_c(j, c)
j 列目を c 割ったものを返します。
mix_r!(i, j, c)
i 行目に j 行目の c 倍を足します。
mix_r(i, j, c)
i 行目に j 行目の c 倍を足したものを返します。
mix_c!(i, j, c)
i 列目に j 列目の c 倍を足します。
mix_c(i, j, c)
i 列目に j 列目の c 倍を足したものを返します。
left_eliminate!

左からの基本変形で階段行列に変形します。

戻り値は、変形するのに使った正方行列の積とその正方行列の 行列式と階数の配列です。

例:

require "matrix-algebra"
require "mathn"
class Rational < Numeric
  def inspect; to_s; end
end
M = Algebra.MatrixAlgebra(Rational, 4, 3)
a = M.matrix{|i, j| i*10 + j}
b = a.dup
c, d, e = b.left_eliminate!
b.display #=> [1, 0, -1]
          #=> [0, 1, 2]
          #=> [0, 0, 0]
          #=> [0, 0, 0]
c.display #=> [-11/10, 1/10, 0, 0]
          #=> [1, 0, 0, 0]
          #=> [1, -2, 1, 0]
          #=> [2, -3, 0, 1]
p c*a == b#=> true
p d       #=> 1/10
p e       #=> 2
left_inverse
左からの基本変形による一般逆行列です。
left_sweep
左からの基本変形で階段行列にして返します。
step_matrix?
階段行列であるとき、軸(pivot)の配列を返します。そうでないとき、nil を返します。
kernel_basis

右から掛けて零になるベクトルの空間の基底の配列を返します。 各基底は Algebra::Vector の要素です。

例:

require "matrix-algebra"
require "mathn"
M = Algebra.MatrixAlgebra(Rational, 5, 4)
a = M.matrix{|i, j| i + j}
a.display #=>
  #[0, 1, 2, 3]
  #[1, 2, 3, 4]
  #[2, 3, 4, 5]
  #[3, 4, 5, 6]
  #[4, 5, 6, 7]
a.kernel_basis.each do |v|
  puts "a * #{v} = #{a * v}"
    #=> a * [1, -2, 1, 0] = [0, 0, 0, 0, 0]
    #=> a * [2, -3, 0, 1] = [0, 0, 0, 0, 0]
end
determinant_by_elimination
体上の正方行列の行列式を掃き出し法で求めます。