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AlgebraicExtensionField

(代数拡大体)

代数拡大体を表現するクラス

ファイル名:

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

なし。

関連するメソッド:

Algebra.AlgebraicExtensionField(field, obj){|x| ... }
::create と同じ。

クラスメソッド:

::create(k, obj){|x| p(x) }

k を、obj で表される変数 x の多項式 p(x) で拡大した環 k[x]/(p(x))を返します。 この環には、クラスメソッド ::var::def_polys::env_ring が定義されます。

例: 有理数を方程式 x**2 + x + 1 == 0 で拡大した体 F を作る。

require "rational"
require "algebraic-extension-field"
F = Algebra::AlgebraicExtensionField.create(Rational, "x") {|x| x**2 + x + 1}
x = F.var
p( (x-1)** 3 / (x**2 - 1) ) #=> -3x - 3
::to_ary

[self, var] を返します。

例: 代数拡大体と添加元を同時に定義する

require "rational"
require "algebraic-extension-field"
F, a = Algebra.AlgebraicExtensionField(Rational, "a") {|a| a**2 + a + 1}
::var
::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、 この剰余環における x で 代表される剰余類を返します。
::modulus
::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、k[x] の要素 p(x) を返します。
::def_polys

::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、 長さ n の各 ::modulus の配列を返します。 ここで、自身は、基礎体 k0 上高さ n の 再帰的な AlgebraicExtensionField であるとします。

例: 基礎体を有理数とし、2, 3, 5 の立方根による拡大体を作る

require "algebra"
# K0 == Rational
K1 = AlgebraicExtensionField(Rational, "x1") { |x|
  x ** 3 - 2
}
K2 = AlgebraicExtensionField(K1, "x2") { |y|
  y ** 3 - 3
}
K3 = AlgebraicExtensionField(K2, "x3") { |z|
  z ** 3 - 5
}

p K3.def_polys #=> [x1^3 - 2, x2^3 - 3, x3^3 - 5]

x1, x2, x3 = K1.var, K2.var, K3.var
f = x1**2 + 2*x2**2 + 3*x3**2
f0 = f.abs_lift

p f0.type     #=> (Polynomial/(Polynomial/(Polynomial/Rational)))
p f0.type == K3.env_ring #=> true

p f #=> 3x3^2 + 2x2^2 + x1^2
p f0.evaluate(x3.abs_lift, x2.abs_lift, x1.abs_lift)
    #=> x3^2 + 2x2^2 + 3x3^2
::env_ring
::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、 多変数多項式環 k0[x1, x2,.., xn] を返します。 ここで、自身は、基礎体 k0 上高さ n の 再帰的な AlgebraicExtensionField であるとします。
::ground
剰余環のもとになる多項式環 k[x] を返します。

メソッド

abs_lift
::env_ring すなわち基礎体 k0 上 の多変数多項式環 k0[x1, x2,.., xn] へのリフトを返します。
[n]

n 次の係数を返します。lift[n] と同じです。

例: Fibonacci 数列

require "algebra"
t = AlgebraicExtensionField(Integral, "t"){|x| x**2-x-1}.var
(0..10).each do |n|
  p( (t**n)[1] ) #=> 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
end